soit \((S)\) un système de \(m\) Equation linéaire avec \(n\) inconnues $$(S):\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\ldots+a_{2n}x_n=b_2\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+\ldots+a_{3n}x_n=b_3\\ \ldots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+a_{m3}x_3+\ldots+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}$$
Alors \((S)\) est équivalent à tout système \((\tilde S)\) obtenu en effectuant l'une des opérations suivantes :
1. Permuter des équations
2. Remplacer \(L_{i}\) par \(L_j+\lambda L_i\) où \(\lambda\in\Bbb R\)
Soit \((S)\) un système de \(m\) Equation linéaire avec \(n\) inconnues $$(S):\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\ldots+a_{2n}x_n=b_2\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+\ldots+a_{3n}x_n=b_3\\ \ldots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+a_{m3}x_3+\ldots+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}$$
Un \(n\)-uplet \(x_1=c_1,x_2=c_2,\ldots,x_n=c_n\) est une solution de \((S)\) si, et seulement si, les deux conditions suivantes sont satisfaites :
1. \(x_1=c_2,x_2=c_2,\ldots x_n=c_n\) vérifie l'équation \(L_1\) du système \((\tilde S)\), ie $$c_1=\frac1{a_{11} }(\alpha_1-a_{11}c_2-\ldots-a_{1n}c_n)$$
2. \(x_2=c_2,\ldots,x_n=c_n\) est une solution du système \((S_1)\)
Méthode du pivot de Gauss :
Pour un Système linéaire donné, un pivot sera une variable qui a un coefficient non nul dans (au moins) une équation du système
Nous allons utiliser une telle variable comme pivot pour éliminer cette variable dans toutes les autres équations du système : en choisissant une variable pivot et son équation correspondante, les autres équations du sysème seront remplacées par des équations avec (au moins) une variable de moins
En réitérant ce procédé, on obtiendra un système composé d'équations qui comportent de moins en moins de variables